y = 1/x + |x − a| 的递减区间探究

图象示意 a = 0

x =— f′(x) =— y₁ =— y₂ =— f =—

参数 a 0

快速取值动点巡游

分解对比 y₁ = 1/x（双曲线） y₂ = |x − a|（折线 V）

f = y₁ + y₂ y₁ = 1/x y₂ = |x − a| 递减（f′ < 0）递增（f′ > 0）折点 x = a

提示：图中黄色虚线 x = a 可以直接左右拖动（或用滑块）。x = 0 是定义域断点（竖直渐近线），所以 (−∞,0) 与 (0,1) 是两个递减区间，不能并成 (−∞,1)。

当前情形结论

解析式与导数

f(x) = 1/x + |x − a| , x ≠ 0
= 1/x + x − a  (x ≥ a)
   1/x + a − x  (x < a)

f′(x) = −1/x² + sgn(x − a)
  = 1 − 1/x²  (x > a)
    −1 − 1/x²  (x < a)

关键：x < a 时 f′ = −1−1/x² < 0 恒成立；
x > a 时 f′ 的符号由 |x| 与 1 的大小决定。

分类讨论

情形一：a = 0（先讨论）

f(x) = 1/x + |x|，以 x = 0 分界。

x > 0：f = x + 1/x，f′ = 1 − 1/x² = (x²−1)/x²。

x∈(0,1) 时 f′<0 → 递减；x∈(1,+∞) 时 f′>0 → 递增；x=1 处取最小值 f(1)=2。

x < 0：f = 1/x − x，f′ = −1/x² − 1 < 0 → 全程递减（x→0⁻ 时 f→−∞）。

递减区间：(−∞,0)，(0,1)　｜　递增区间：(1,+∞)

情形二：0 < a ≤ 1

折点 x=a 落进 (0,1) 区间（a=1 时恰与驻点重合）。

x < 0：f′ = −1 − 1/x² < 0 → 递减。

0 < x < a：f′ = −1 − 1/x² < 0 → 递减。

a < x < 1：f = 1/x + x − a，f′ = (x²−1)/x² < 0 → 递减。

x > 1：f′ > 0 → 递增。

折点 x=a 两侧同为递减，故 (0,a) 与 (a,1) 可拼接为 (0,1)。

递减区间：(−∞,0)，(0,1)　｜　递增区间：(1,+∞)，最小值 f(1)=2−a

情形三：a > 1

x < 0：f′ = −1 − 1/x² < 0 → 递减。

0 < x < a：f = 1/x + a − x，f′ = −1 − 1/x² < 0 → 递减。

x > a：f = 1/x + x − a，f′ = (x²−1)/x²；因 x > a > 1，故 f′ > 0 → 递增。

折点 x=a 左侧减、右侧增，折点本身就是极小点，f(a)=1/a。

递减区间：(−∞,0)，(0,a)　｜　递增区间：(a,+∞)

情形四：−1 ≤ a < 0

x < a：f′ = −1 − 1/x² < 0 → 递减。

a < x < 0：f = 1/x + x − a，f′ = (x²−1)/x²；因 |x|<1，故 f′ < 0 → 递减。

x > 0：(0,1) 上递减，(1,+∞) 上递增。

折点两侧同递减 → (−∞,0) 整体递减。

递减区间：(−∞,0)，(0,1)　｜　递增区间：(1,+∞)，最小值 f(1)=2−a

情形五：a < −1

x < a：f′ = −1 − 1/x² < 0 → 递减。

a < x < −1：f′ = (x²−1)/x² > 0（|x|>1）→ 递增。

−1 < x < 0：f′ < 0 → 递减。

0 < x < 1：递减　x > 1：递增。

x=a 处极小（f(a)=1/a），x=−1 处极大（f(−1)=−2−a）。

递减：(−∞,a)，(−1,0)，(0,1)　｜　递增：(a,−1)，(1,+∞)

结论汇总

a 的范围	递减区间	递增区间	极值
a = 0	(−∞,0), (0,1)	(1,+∞)	min f(1)=2
0 < a ≤ 1	(−∞,0), (0,1)	(1,+∞)	min f(1)=2−a
a > 1	(−∞,0), (0,a)	(a,+∞)	min f(a)=1/a
−1 ≤ a < 0	(−∞,0), (0,1)	(1,+∞)	min f(1)=2−a
a < −1	(−∞,a), (−1,0), (0,1)	(a,−1), (1,+∞)	min f(a)=1/a max f(−1)=−2−a

递减区间个数：a ≥ −1 时为 2 个；a < −1 时为 3 个。